OpenAI refuta la conjectura d'Erdős: què ha resolt

En la última semana hemos vivido la que puede ser la noticia más relevante que combine inteligencia artificial y matemáticas hasta la fecha. Una noticia cuya relevancia no pasa solo por el logro conseguido por la inteligencia artificial, sino por lo simbólico y lo representativo que ha sido para muchos miembros de la comunidad matemática. Porque sí, lo que está sucediendo es algo que yo ya vengo avisando desde hace meses, incluso años, que ya vosotros conocéis. Lo he contado en ambos canales y es el enorme impacto que está teniendo la inteligencia artificial en el campo de las matemáticas. Un fenómeno, una revolución que en el punto en el que nos encontramos actualmente con la capacidad de los modelos actuales, pues empieza a ser difícil de ignorar. En concreto, el titular que nos trae el vídeo de hoy es que Open AI publicó la semana pasada que utilizando simplemente un modelo de inteligencia artificial razonador, un modelo del lenguaje como el que tú y yo utilizamos, pues habían conseguido traer un nuevo resultado fundamental para un problema importante conocido por la comunidad matemática en el área de la geometría combinatoria que durante 80 años no se había conseguido refutar. En concreto, estamos hablando de uno de los problemas más conocidos del matemático Paulos, un problema que en concreto se ha definido como uno de los problemas favoritos del matemático y que además se define como uno de los problemas de geometría combinatoria más conocidos y más fáciles de explicar. De hecho, tal es así que hoy me voy a poner el gorrito de matemáticos, chicos y chicas, y voy a intentar explicaros a través de una aplicación que hac codeado un poquito la naturaleza de este problema. En concreto, el problema lo que nos plantea es, oye, si tú colocas en un plano, pues, una cantidad concreta de puntos, pues vamos a pensar cinco puntos. Vamos

a colocar cinco puntos por aquí. La pregunta sería, ¿cuántos puntos podemos lograr que estén a una distancia de uno? Vale, si os fijáis aquí, cuando me coloco encima de un punto, pues se ve la circunferencia, el círculo unitario. Y eso significa que si yo coloco este punto cerca del otro punto, pues como cae justo en este círculo, pues el radio, esta distancia aquí entre los dos puntos, sería de uno. Y el objetivo pues sería conseguir colocar estos puntos en el plano de forma que pues consigamos el mayor número de conexiones unitarias. Pues por ejemplo, con cinco puntos podría formar una estructura como esta de aquí, donde tenemos cinco puntos, seis conexiones y un grado medio, es decir, una cantidad de conexiones saliendo de cada punto de 2,4. Pues la pregunta es esta, ¿cómo podemos distribuir este número de puntos para conseguir el mayor grado de conexiones? ¿Es esta la mejor distribución la que yo he logrado o se puede conseguir alguna otra más interesante? Por ejemplo, esta sería mejor. Pues esta es la pregunta que el matemático Paul Erdos se planteó en 1946 ante este problema. Y claro, aquí podemos empezar a pensar en distintos tipos de estructuras. Por ejemplo, una muy sencilla sería esta, colocar los puntos en una línea recta donde sabemos que cada punto pues va a tener una conexión con el siguiente punto. Si colocamos las distancias a una unidad, pues con esto estamos consiguiendo que si tenemos 15 puntos, pues en total vamos a tener 14 conexiones, ¿no? Que serían las intermedias. Si tenemos 20 puntos, pues tendríamos 19 conexiones. Si tenemos 100 puntos, 99 conexiones. Es decir, para n puntos tenemos n - 1. n -1 con un grado medio de conexión de 1,88 para este caso de n = 15 para 15 puntos, donde este 1,88 viene a representar que cada punto

pues tiene dos conexiones, excepto lo de los extremos. Si nosotros vamos incrementando este valor de n y lo hacemos tender al infinito, pues vemos como el grado medio va tendiendo a este valor de dos, que sería en el caso de n = a infinito. Pero claro, ¿es esta la mejor forma de colocar a estos puntos en una línea recta? Pues no. Si estamos trabajando en un plano bidimensional, quizás la versión más naif de este problema sería decir, "Oye, vamos a armar una retícula donde cada punto conecte con sus cuatro puntos vecinos, haciendo una estructura como esta de aquí, donde vemos que efectivamente aquí ya tenemos un grado medio de conexión que se aproxima a un valor de cuatro." No es exactamente cuatro, pero bueno, para no liarnos con fórmulas vamos a pensar que sí por esta idea de que cada punto pues tiene su vecino en la retícula. Y como digo, esta es la solución más naif. armo una retícula donde cada punto esté a una unidad de distancia y con esto conseguimos pues un grado de conexión mucho más alto que si pues estuviéramos moviendo los puntos en otra configuración. ¿Y qué queréis? ¿Es esta la solución óptima a este problema? Pues la respuesta es que no. Y esta no es la respuesta que ha dado la IA, sino que esta fue la respuesta que dio el matemático R2 allá por 1946, donde él se planteaba que sí, si mantenemos esta idea de tener una retícula, pues los puntos colocados en filas y columnas como teníamos antes, pero no a una distancia de uno, sino más cerquita y conectamos los puntos no con su vecino cercano, sino proyectando hacia coordenadas más lejanas que se pueden calcular y se puede sacar matemáticamente. conseguimos conectar esta estructura en forma de rejilla con un mayor grado de conexión, que es

básicamente la estructura que estáis viendo aquí en pantalla. Bastante espectacular, muy chula, muy bonita. No me hago cargo de ella, se lo dejo a a GPT 5.5, que ha sido el que ha programado pues esta genialidad de aplicación. Y por supuesto el matemático Erdos, que planteó esta estructura como, oye, la posible solución a este problema. Así lo planteó Erdos y así se mantuvo durante décadas la creencia de que esta era la mejor estructura posible. Y digo que así se creyó porque esto no estaba demostrado realmente. Era una conjetura donde había pues razones sólidas para pensar que esta sí podía ser la solución, pero no había una demostración matemática clara de ello. Entonces, Carlos, ¿qué ha hecho la IA? ¿Ha conseguido demostrar la solución correcta? No, exactamente. Lo que ha hecho la IA ha sido refutar la conjetura de esto significa que no ha demostrado pues cuál es la estructura óptima. Pero se ha demostrado que hay estructuras más óptimas que la planteada por haciendo por tanto que su conjetura quede refutada. Y me va a costar mucho explicaros cómo es la estructura nueva, porque realmente para conseguir dibujarla hay que plantear en pantalla una cantidad muy alta, muy elevada de puntos, pero sí podemos sacar una aproximación que nos cuente un poco la intuición tras la estructura planteada que se parece a algo como esto, donde fijaos cómo sucede la conexión entre puntos, donde se parece mucho más a una estructura radial de anillos más que la topología que teníamos antes en forma de rejilla y que bueno pues Nos tenemos que creer, a menos que queráis ir a las fórmulas matemáticas y comprobarlo, que cuando elevamos el valor de n, cuando incrementamos el número de puntos en pantalla, pues nos acaba dando un grado de conexión que es superior al de la estructura anterior. Bastante bastante

chulo si me preguntas. Entendiendo esto, ahora entenderéis por qué de repente en Twitter pues se está convirtiendo en una especie de culto a esta figura. está toda la comunidad de inteligencia artificial y también de matemáticas pues alabando estos patrones eh esotéricos hasta el punto de que estamos cercanos a convertirlo ya en un nuevo oculto, en una nueva deidad y donde ya hay gente que ha planteado de hacer esta figura de aquí. Me gusta bastante, la verdad, como la bandera de la superinteligencia artificial, ¿no? Cuando los robots pues tomen la calle cuando vaya Skynet a por nosotros, que vaya ondeando esta bandera azul con el patrón del problema de la rejilla unitaria. Pero la realidad es que sí hay motivos por el cual debemos de estar bastante entusiasmados por el logro conseguido. En concreto, hay tres motivos. El primero, tal y como podemos leer en el blog de Open AI, lo encontramos en este párrafo de aquí, donde nos cuentan en concreto que la solución, la prueba se ha conseguido a partir de un nuevo modelo razonador de propósito general, significando esto que Open AI no ha conseguido esta solución con un problema matemático concreto que hayan entrenado para este tipo de tareas, que no han armado ningún tipo de sistema complejo con un harness matemático agéntico que ponga el modelo en bucle a probar y a validar con diferentes verificados. adores, como veremos más adelante, que hacen compañías como Google, ni siquiera han entrenado el modelo concretamente para resolver este tipo de problemas de geometría discreta. No, estamos hablando de lo que posiblemente sea un futuro modelo GPT 5.6, 5.7, un modelo razonador como el que tú, como el que yo utilizamos, en este caso con capacidades matemáticas a nivel de frontera, capaz de resolver problemas, de refutar conjeturas matemáticas al más alto nivel. Sí, este es el nivel de los

modelos de lenguaje que hasta hace muy poquito apenas sabían multiplicar. El segundo motivo por el que tenemos que entusiasmarnos por esta noticia tiene que ver por cómo la inteligencia artificial ha resuelto este problema. Aquí se me escapa de mis conocimientos matemáticos, pero bueno, lo que he podido entender por parte de gente que lo ha compartido de la comunidad matemática, es que el descubrimiento que ha hecho la IA, la forma de refutar la conjetura de no ha sido a través de estrategias directas del campo de la geometría discreta. a la que pertenece este problema, sino que la inteligencia artificial ha sabido moverse a otras áreas del conocimiento, a otras áreas de las matemáticas, en este caso de teoría de álgebra numérica, para ideas, relacionarlas y aplicarlas de forma efectiva a este problema. Y esto es quizás lo que más ha pillado por sorpresa muchos de los matemáticos que se han acercado a comprobar pues cómo lo ha solucionado la IA. Y es esta forma creativa, vamos a llamar creativa, o más cercana como los profesionales matemáticos actúan ante este tipo de problemas que es interconectando pues lo que parecen áreas aisladas, separadas para de repente encontrando puentes de conocimiento conseguir pues soluciones novedosas a problemas que llevan históricamente años o décadas sin ningún tipo de avance. Y aquí está el tercer motivo por el que tenemos que estar entusiasmados y es que este entusiasmo está muy compartido con mucha gente de la comunidad matemática que de repente se está dando cuenta del estado actual de la inteligencia artificial. Muchos pensaban que sí, que estos modelos han avanzado muchísimo y actualmente pueden actuar incluso como aceleradores, como coautores o herramientas para que los matemáticos profesionales puedan avanzar sus investigaciones. algo que es totalmente cierto, igual que los modelos de programación, pues ayudan a muchos programadores a poder programar, pero lo

que este hito está suponiendo para muchos es una demostración de que esto no para y que esto va a seguir avanzando más y más, donde la inteligencia artificial no va a actuar solamente como un copilot para el matemático, sino que en muchos campos, en muchas disciplinas, pues va a suceder lo que hemos visto en otras áreas. Y es lo que dicen teóricos numéricos como Arul Shankar, que dice lo siguiente. En mi opinión, este paper demuestra que los sistemas de inteligencia artificial actuales son capaces de ir más allá de ser simplemente sistemas de ayudas para el matemático humano. Los sistemas de inteligencia artificial son capaz de tener ideas originales que son ingeniosas y trabajarlas, avanzarlas hasta que sean fructíferas. Esto es básicamente la opinión de mucha, mucha gente dentro del entorno de las matemáticas. Podéis verlo en el blog de Open AI, que obviamente va a poner las mejores opiniones, pero también en la comunidad matemática, en Twitter y en blogs, en Reddit, por todos lados, en internet. Esto está suponiendo algo así como la vez que la inteligencia artificial ganó a Kasparov al ajedrez o cuando la inteligencia artificial venció al campeón del mundo al GO, pues ese momento en el que de repente te das cuenta del potencial de las capacidades de los sistemas que estamos entrenando a día de hoy. sistemas razonadores que con cada nueva versión que entrenamos se vuelven más capaces en la frontera del conocimiento y que además dentro del paradigma del test time compute, como lo demuestra esta gráfica de aquí, entre más tiempo dejamos pensar ante un problema, entre más tiempo estás razonando, generando estas cadenas de razonamiento, pues mejores desempeños logran. Y quizás os estáis preguntando, pues, ¿qué utilidad tiene resolver este tipo de problemas? Carlos, estamos resolviendo un problema fundamental que va a cambiar pues la historia de la

humanidad. Pues la realidad que sucede con los problemas matemáticos es que en muchos casos son abstracciones de problemas que luego si los aterrizamos podemos aplicarlos a muchos campos diferentes, campos como la ingeniería. En el caso concreto del problema unitario, donde estamos colocando puntitos y líneas, desconozco si hay una aplicación práctica real de haber refutado la conjetura de AR2. Pero por ilustraros un poco este asunto, recuerdo hace unos meses cuando un sistema como fue Alpha Proof de Google consiguió resolver o mejorar la solución de un problema como era el empacado de esferas en sistemas multidimensionales, que bueno, a priori parece un problema que solo tiene una aplicación práctica real y es colocar bolas de billar dentro de una caja cuando tengas que hacer una mudanza. Y la realidad es que cuando busqué ese problema, esta idea de tener esferas multidimensionales que no se tocan, que estamos intentando distribuir en el espacio multidimensional de una forma que sea óptima, pues tenían aplicaciones prácticas tan útiles como la colocación óptima de antenas en una ciudad donde no se interfirieran cada una de las señales de las antenas, porque si imaginamos pues la cobertura que tiene una antena en tres dimensiones sería una esfera. O por ejemplo, esto también tenía aplicaciones para algoritmos de machine learning como KNN, vecinos cercanos, donde de nuevo pues los puntos tienen una distancia con otros puntos cuya cobertura en múltiples direcciones son hiperesferas. Es decir, hay problemas matemáticos que a priori, aunque parezcan una tontería, cuando lo trasladamos a aplicaciones prácticas reales, pues tienen mucha mucha utilidad. Luego puede pasar lo que creo que va a pasar con la solución dada por la IA en este problema y es que aunque no haya una traducción real práctica de la solución encontrada, sí puede haberla en los métodos, en este puente de conocimientos que la haya ha encontrado

entre geometría discreta y álgebra numérica. Quizás esta forma de conectar estos campos y utilizar pues métodos de esta área para solucionar este problema sirva para trasladarlo a la solución de otros problemas que si tengan aplicaciones reales. Pero más allá de esto, chicos y chicas, lo importante, lo relevante no son las aplicaciones del problema que se ha resuelto. No es el hito el haber resuelto este problema, sino lo que representa que una inteligencia artificial, que un modelo razonador haya conseguido tal logro. Porque lo que estamos viviendo es algo que vengo anunciando desde hace ya un par de años, desde la salida de los modelos razonadores, y es la muerte del loro estocástico, la idea instalada por los haters de la IA, por la gente que no tiene conocimientos o que no quiere seguir o que son simplemente negacionista de la capacidad de estos modelos de seguir diciendo que los modelos de lenguaje son simplemente autocompletados, vitaminados, que los modelos no saben lo que hacen, que son simplemente ente loros estocásticos. Y puedo entender que si tu sesgo de confirmación es el de querer pensar que los modelos del lenguaje no pueden, pues puedo entender que hace 3 años criticaras las incapacidades matemáticas de estos modelos. Perfecto. Era evidencia de que estos modelos a nivel matemático todavía no estaban ahí. Pero cuando llegan los modelos razonadores y empezamos a ver que la inteligencia artificial empieza a ganar pues olimpiadas matemáticas internacionales, empiezan a resolver o a mejorar problemas matemáticos ya establecidos, incluso ahí escéptico de los modelos de lenguaje, amante de los lores estocásticos de la pajarería de Gary Marcus, incluso ahí te puedo defender que creyeras que, bueno, si la IA resolvía estos problemas porque por overfeitting pues estaba aprendiendo a resolver problemas parecidos, modelos tipos. Y bueno, en este tipo de benchmarks pues la naturaleza de los

problemas no cambia tanto, con lo cual no estamos viendo la parte creativa original que un humano matemático sí hace aplicado en estos modelos. Pero ahora, chicos y chicas, la evidencia empieza a ser abrumadora. Ya no podemos negar que estos sistemas no tengan la capacidad frontera que están demostrando. Estamos viendo soluciones creativas a nivel de frontera y una tendencia que lejos de pararse solo está acelerando mes tras mes con nuevos modelos, con nuevos harnesses matemáticos, con nuevos técnicas de test time compute aplicadas de razonamiento, cada vez las cotas de mejora de estos sistemas en matemáticas y en otras áreas del conocimiento donde las matemáticas son fundamentales. Tal y como os conté en el vídeo del canal principal, que sacamos hace un mes y medio y que ilustra perfectamente esta tendencia que estamos viviendo, donde las inteligencias artificiales empiezan a generar nuevo conocimiento, pues como digo, esto no para de mejorar. Y como última evidencia, su señoría, quiero traer este paper que también ha generado mucho ruido en los últimos días, en las últimas horas, que viene de Google Deep Mind, que nos presentan en este paper su nuevo sistema Alpha Nexus, que combina el uso de modelo de lenguaje con sistemas de verificación basados en LIN en bucles agénticos tipo Alpha Evolve, que es un poco la distinción que quería hacer Open AI cuando decía que en el caso de Open AI no estaban utilizando ningún tipo de loop agéntico, simplemente es un modelo que genera soluciones. En este caso estamos hablando de un sistema un poquito más complejo y con el que Google reporta que han conseguido resolver de forma autónoma nueve de 353 problemas R2, también de Paul R2 a los que han enfrentado al sistema. Aquí tenemos que tener cuidado para evitar caer en el hype desmedido, entendiendo que no todos los problemas ER2 pues tienen la misma

dificultad y que a lo mejor pues estos nueve problemas no son de la dificultad o de la importancia o de la relevancia incluso a sus soluciones que el problema resuelto por Open AI. Es decir, desconozco cuál es la escala de dificultad de cada uno de los problemas, pero lo que quiero que entendáis es que no estamos hablando de que Google ha conseguido nueve veces la haaña que hemos comentado en el vídeo de hoy. Y otra cosa importante que quiero comentaros sobre este paper y que se diferencia bastante de cómo lo están tratando mediáticamente el resto de medios y gente en YouTube, es que estas soluciones no son realmente nuevas. No es que Deep Mind esta semana acabe de solucionar nueve problemas nuevos, sino que esto es una recopilación de todos los problemas que desde el mes de enero Google nos lleva anunciando que han ido solucionando. Pues por ejemplo, uno de los problemas que dicen que han resuelto es el problema 846 de AR2, que si buscamos en Twitter, pues este ya es un problema que el 25 de febrero tanto Open AI como Deep Mind anunciaron haber resuelto. Te lo digo porque hay mucha gente que está diciendo, "Esta semana DM ha resuelto nueve problemas cerdos y no es exactamente esto, sino que este paper viene a documentar la impresionante haaña que supone haber resuelto estos problemas con este nuevo sistema Alpha Proof Nexus durante los últimos meses. Un paper que aparte del sistema presentado nos deja una gráfica muy pero que muy interesante que nos viene genial para cerrar el vídeo de hoy, que tiene que ver con, vale, tenemos sistemas de inteligencia artificial gastando computación para solucionar este tipo de problemas. Pero, oye, Carlos, ¿cuánto cuesta? ¿Cuánto nos cuesta realmente resolver cada uno de estos problemas que en algunos casos pueden ser fundamentales para encontrar

aplicaciones prácticas útiles? Como hemos comentado antes, pues fijaos como ahora mismo todavía al comienzo de esta era de los modelos de lenguaje, donde todavía estamos con sistemas muy suboptimizados, el coste de resolución de cada uno de estos problemas oscila entre los 100 y un coste por prueba que es irrisorio. Me ha sorprendido enormemente que este sea el coste por métodos, pero esto es el punto en el que nos encontramos. Sistemas de inteligencia artificial, modelos de lenguaje que primero aprendieron a leer, luego a multiplicar y poco a poco pues fueron pasando por segundo grado, universidad. Les presentamos a las olimpiadas matemáticas porque eran impresionantes y ahora ya sí, una vez doctorados pues ya empiezan a investigar. Una revolución que espero haberos contado con claridad, con detalle. sabéis que este tema a mí me apasiona, que está en el núcleo principal de mi proyecto de divulgación, el uso de la inteligencia artificial para impulsar los avances científicos. Y esto ya no es una revolución que va a ocurrir a futuro, está sucediendo. Ya cerramos aquí el vídeo con esta increíble ilustración, la verdad que bastante bonita, de esta estructura del problema de os dejo pues por ahí en grande un par de vídeos que podéis ojear. Ya os digo que el vídeo del canal principal es fundamental para entender bien lo que está sucediendo. Y si os ha gustado el vídeo de hoy, no dejéis de compartirlo, no dejéis de apoyarlo, suscribíos a este canal para estar actualizados con toda la información sobre inteligencia artificial que vaya saliendo. Y nos vemos, chicos y chicas, con más IA aquí y en el canal principal. Nos vemos a la próxima. Chao.