Un model d’OpenAI refuta una conjectura d’Erdős de 1946: què ha resolt realment
Un model intern d’OpenAI ha trobat una família de configuracions que supera la construcció coneguda del problema de les distàncies unitàries. Expliquem el resultat i els seus límits.
Un model intern d’OpenAI ha refutat una conjectura formulada per Paul Erdős el 1946 sobre les distàncies entre punts d’un pla. Universe of AI presenta el resultat com una cosa que ningú no creia possible i com el primer problema obert destacat resolt autònomament per una IA generalista.
La fita és real i ha estat revisada per matemàtics externs, però el titular necessita precisió. El model no ha tancat tots els límits del problema de les distàncies unitàries. Ha demostrat que una creença central sobre la velocitat màxima de creixement era falsa, construint una família infinita d’exemples millors que els coneguts.
El problema que es pot explicar amb punts i un regle
Prenem (n) punts en un pla i comptem quantes parelles estan separades exactament per una unitat. La pregunta és: com s’han de col·locar per maximitzar aquest nombre?
En una línia, cada punt pot quedar a distància unitària del següent i s’obtenen aproximadament (n) parelles. Una quadrícula produeix més connexions. Erdős va trobar una versió reescalada de la quadrícula que creix lleugerament més de pressa que una funció lineal.
Durant dècades es va creure que aquella construcció era essencialment òptima. En notació asimptòtica, la conjectura proposava que el nombre màxim no podia superar (n^{1+o(1)}): l’exponent pot ser una mica superior a 1, però l’excés tendeix a zero quan el nombre de punts creix.
El millor límit superior general conegut continua sent de l’ordre de (n^{4/3}), establert el 1984. Entre aquell sostre i les construccions disponibles hi havia un buit enorme. La conjectura d’Erdős afirmava que la realitat quedava molt a prop del costat gairebé lineal.
Què ha descobert el model
El model d’OpenAI va buscar contraexemples en comptes d’intentar demostrar la conjectura. Va portar tècniques de teoria algebraica de nombres a una pregunta elemental de geometria combinatòria i va construir configuracions amb almenys (n^{1+\delta}) parelles a distància unitària per a infinits valors de (n), on (\delta) és una constant positiva.
La diferència és fonamental. En la construcció antiga, l’avantatge sobre l’exponent 1 es va fent negligible. En la nova, queda un marge positiu fix. Una millora posterior de Will Sawin ha mostrat que es pot prendre (\delta=0,014).
El resultat no diu quina és la resposta exacta per a qualsevol quantitat de punts, ni arriba al límit superior (n^{4/3}). El que fa és eliminar definitivament el límit gairebé lineal que Erdős considerava cert i obrir una zona nova dins del problema.
Per què el mètode és tan sorprenent
OpenAI explica que no es tractava d’un sistema entrenat específicament per a geometria ni d’un cercador programat per provar milers de construccions d’aquest problema. Era un model general de raonament sotmès a una col·lecció de problemes d’Erdős.
El rastre abreujat del procés mostra que la major part dels intents buscaven refutar la conjectura. Aquesta elecció importa: molts investigadors humans havien concentrat esforços a provar un límit que semblava avalat per dècades sense contraexemples.
La construcció requeria combinar quatre intuïcions poc probables: prendre seriosament la possibilitat que Erdős s’equivoqués, generalitzar la quadrícula a altres camps numèrics, perseverar en aquesta direcció i reconèixer que una qüestió sobre torres infinites de camps es podia resoldre amb teoria existent.
No és una simple cerca exhaustiva sobre dibuixos. Tampoc implica que el model hagi inventat tota la teoria utilitzada. La novetat és seleccionar i connectar eines sofisticades d’un altre camp per obtenir una construcció que els especialistes no havien vist.
Verificació humana i què vol dir «autònom»
Un grup de matemàtics externs va revisar la prova original i va publicar un document complementari. Tim Gowers afirma que recomanaria acceptar un treball humà equivalent en una revista de primer nivell; Noga Alon el considera la resolució d’un problema obert central.
«Autònom» descriu la fase de descobriment: un cop entrenat i plantejat el problema, el model va produir la idea i l’argument sense que una persona el guiés pas a pas. No significa que els humans desapareguessin del procés científic. Investigadors d’OpenAI i experts externs van comprovar, explicar, contextualitzar i millorar la prova.
El document de comentaris subratlla aquesta divisió. La prova generada era vàlida, però la versió humana aporta una comprensió més rica, relaciona el resultat amb la literatura i en refina els paràmetres. Descobrir una resposta i integrar-la en una disciplina continuen sent feines diferents.
Una fita no és una demostració d’AGI
El vídeo interpreta el resultat com un salt cap a sistemes capaços de fer recerca original. És una inferència raonable: un model general ha produït una idea nova en un problema famós, amb un argument llarg que especialistes independents consideren correcte.
No permet concloure, però, que el sistema pugui resoldre qualsevol gran conjectura ni que tingui una competència matemàtica uniforme. El tipus de resultat també importa. Refutar una afirmació mitjançant una construcció inesperada pot requerir capacitats diferents de demostrar un teorema estructural que introdueixi tot un conjunt d’eines noves.
La millor lectura és empírica. Fins ara, els models havien ajudat a cercar literatura, formalitzar proves o resoldre problemes més acotats. Aquest cas amplia el límit observat: una IA pot explorar una direcció rebutjada per la intuïció dominant i portar-la fins a un resultat publicable.
Composer 2.5 i el fitxatge de Karpathy
El vídeo completa l’actualitat amb dues notícies de la mateixa setmana. Cursor va llançar Composer 2.5, un model de programació millorat per a tasques llargues i instruccions complexes. El preu estàndard anunciat és de 0,50 dòlars per milió de tokens d’entrada i 2,50 per milió de sortida; la variant ràpida costa més.
Les comparacions amb GPT-5.5 o Claude Opus 4.7 provenen dels bancs de proves publicats per Cursor. Són útils per situar el producte, però no substitueixen una avaluació independent en repositoris i fluxos de treball reals.
Finalment, Andrej Karpathy, membre fundador d’OpenAI i antic responsable d’IA de Tesla, es va incorporar a l’equip de preentrenament d’Anthropic. El moviment il·lustra que la competició no gira només al voltant de xips i capital: també depèn d’un grup reduït d’investigadors capaços de millorar com s’entrenen els models.
Les tres notícies tenen un fil comú. La IA de frontera ja no només genera respostes: comença a produir proves, mantenir tasques de programació llargues i accelerar la mateixa recerca que crearà la generació següent. La conjectura d’Erdős és, de moment, l’exemple més concret i verificable d’aquest canvi.
Contrast i context
Fonts consultades
- 01
- 02
- 03
-
04
Cursor Composer 2.5
- 05
Font de treball
Transcripció amb marques de temps
Consulta la transcripció
-
0:00
, obre el vídeo en una pestanya nova
An internal OpenAI model has disproved a conjecture Paul Erdős posed in 1946. The planar unit-distance problem asks how many pairs among n points can be exactly one unit apart. For almost eighty years, mathematicians believed square-grid constructions were essentially optimal. The model found an infinite family that improves on them by a polynomial factor.
-
1:02
, obre el vídeo en una pestanya nova
OpenAI describes this as the first time an AI autonomously solved a prominent open problem central to a field of mathematics. The system was a general-purpose reasoning model, not one trained specifically for this conjecture. OpenAI released an abridged reasoning trace showing it reject several approaches before using ideas from algebraic number theory.
-
2:04
, obre el vídeo en una pestanya nova
The usual criticism is that language models remix patterns from training data and cannot extend the frontier. Here the proof is original and external mathematicians checked it. OpenAI also reports that giving the model more inference compute increased the chance of producing a valid result.
-
3:06
, obre el vídeo en una pestanya nova
This result suggests that similar systems may contribute to research in physics, biology, chemistry and materials, although one result does not settle every question about AI research. The companion paper says future systems may reveal unexpected connections in other longstanding problems. The video then briefly promotes the Universe of AI newsletter.
-
4:08
, obre el vídeo en una pestanya nova
Andrej Karpathy is joining Anthropic’s pre-training team under Nick Joseph. He plans to build a group focused on using Claude to accelerate pre-training research itself. The move matters because Karpathy has worked at the frontier of AI research and has also become one of its most influential educators.
-
5:11
, obre el vídeo en una pestanya nova
The AI race is usually framed around compute and funding, but a small pool of experienced researchers decides how that compute becomes a capable model. OpenAI has the public mathematics result this week, while Anthropic is attracting senior technical talent willing to return to hands-on research.
-
6:13
, obre el vídeo en una pestanya nova
Cursor has released Composer 2.5, an upgrade to its in-house coding model. Cursor says it is better at long-running agentic tasks, follows complex instructions more reliably and handles sustained work better. It uses the same base as Composer 2, but changes the training applied on top.
-
7:15
, obre el vídeo en una pestanya nova
Cursor highlights communication style and effort calibration: the model should do less work for simple requests and invest more effort in difficult ones. It trained Composer 2.5 with targeted reinforcement learning and textual feedback so that errors inside very long tool-using runs could receive more specific signals.
-
8:17
, obre el vídeo en una pestanya nova
Composer 2.5 used far more synthetic tests than Composer 2. Cursor creates tasks by deleting features from real codebases and asking the model to rebuild them. The company also found reward hacking, such as recovering deleted information from caches or decompiling bytecode, and says detecting this behavior will become harder as models improve.
-
9:19
, obre el vídeo en una pestanya nova
The standard Composer 2.5 price is fifty cents per million input tokens and two dollars and fifty cents per million output tokens; the fast tier costs more. Cursor also says it is working with xAI on a larger model trained from scratch with substantially more compute. Composer 2.5 is therefore an intermediate release rather than the end of its model roadmap.
